L numrat realë përbëjnë grupi i numrave më të përdorur në matematikë dhe në jetën e përditshme. Ato përfshijnë numra racionalë dhe irracionalë dhe variojnë nga numrat që përdorim për numërim, matje ose pagesa, deri te ata që shfaqen në koncepte të avancuara si kalkulusi ose fizika. Çdo numër që mund të përfaqësohet në një vijë numrash e vazhdueshme, qoftë i plotë, thyesor apo me dhjetore të pafundme, është pjesë e numrave realë.
Ky grup lindi historikisht nga nevoja për të përshkruaj me saktësi Sasi që nuk mund të shpreheshin me numrat e njohur në atë kohë. Shprehje të paqarta si "shumë e vogël" ose "pothuajse zero" rezultuan të pamjaftueshme për zhvillimin rigoroz të analizës matematikore, duke çuar në formalizimin e koncepteve të limitit dhe numrit real. Shumë historianë i vendosin proceset e rafinimit dhe formalizimit të konceptit midis Shekujt e 15-të dhe të 17-tëmegjithëse përkufizimi modern dhe rigoroz u konsolidua më vonë.
Edhe pse qytetërimet e lashta si ajo egjiptiane e përdornin tashmë thyesatIshin grekët ata që e studiuan konceptin e "numrit" në një mënyrë më filozofike. Shkolla e Pitagorës argumentonte se "gjithçka është numër" dhe, kur përpiqeshin të shprehnin gjatësi të caktuara (si diagonalja e një katrori), ata zbuluan se Jo të gjitha madhësitë mund të shkruhen si një thyesë e numrave të plotë.Nga kjo lindin numrat irracionalë, të cilët më vonë do të plotësonin bashkësinë e numrave realë.
Çfarë janë numrat realë dhe si përfaqësohen ata?
Numrat realë përcaktohen si të gjithë numrat që korrespondojnë me një pikë në boshtin e numrave realëKjo vijë shtrihet pa kufi majtas (vlera negative) dhe djathtas (vlera pozitive), duke përfshirë zeron, thyesat, numrat dhjetorë të fundëm dhe numrat dhjetorë të pafundëm përsëritës dhe të pafundëm jo-përsëritës.
Ky grup zakonisht shënohet me shkronjën R ose simbolin ℝFormalisht, bashkësia e numrave realë mund të përshkruhet si bashkimi i dy nëngrupeve kryesore: numrat racionalë (Q) dhe numrat irracionalë (I). Do të thotë, ℝ = Q ∪ I.
Shembuj të numrave realë janë: 5, 0, −9, 3/4, −7/2, 3,45, 0,333… (1/3), √2, √10, π, endër shumë të tjera. Të gjitha ato mund të vendosen në boshtin e numrave realë me anë të një pike të përcaktuar mirë.
Për më tepër, numrat realë janë nëngrup i numrave kompleksëNumrat kompleksë përfaqësohen si a + bi, ku a dhe b janë numra realë dhe ei është njësia imagjinare (rrënja katrore e −1). Kur b = 0, numri kompleks a + 0i përkon me një numër real, kështu që çdo numër real mund të shihet si një numër kompleks me një pjesë imagjinare zero.
Klasifikimi i numrave realë sipas llojit të tyre
Klasifikimi i numrave realë zakonisht organizohet në disa nëngrupe të ndërthurura. Më të zakonshmet janë numrat natyrorë, e tërë, racional e irracionaleNë një shkallë të gjerë, brenda ℝ gjejmë dy grupe të mëdha: racional e irracionaleDhe brenda numrave racionalë, ka numra natyrorë, numra të plotë dhe numra thyesorë.
1. Numrat racionalë
Është quajtur numrat racionalë për të gjithë ata që mund të përfaqësohen si kuocienti i dy numrave të plotëDomethënë, si një thyesë p/q ku p dhe q janë numra të plotë dhe q ≠ 0. Ky bashkësi përfaqësohet nga shkronja QNumrat racionalë përfshijnë numra pozitivë, numra negativë dhe zeroPrandaj, ato mbulojnë një gamë të gjerë madhësish.
Një numër racional mund të shkruhet si thyesë, por mund të shfaqet edhe si dhjetor i saktë (për shembull 3,5), dhjetore përsëritëse e pastër (0,7777…) ose dhjetore përsëritëse të përziera (2,58333…). Çdo një nga këto raste pranon gjithmonë një përfaqësim si një thyesë numrash të plotë.
Numrat racionalë përfshijnë të dyja e tërë si pjesorPrandaj, çdo numër i plotë (−3, 0, 5…) është gjithashtu racional, pasi mund të shkruhet si p/1. Kjo do të thotë që ℤ është një nëngrup i Q-së.
Numrat racionalë na lejojnë të kryejmë veprime pa dalë nga bashkësia e mbledhje, zbritje, shumëzim dhe pjesëtim (përveç pjesëtimit me zero). Prandaj, Q thuhet se është Cerrado për këto operacione.
a) Integerët
L numra të plotë janë bashkësia e formuar nga numrat natyrorë, tuaj të kundërtat negative dhe zeroAto përfaqësohen nga shkronja Z dhe përfshijnë vlera të tilla si …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …
Në një bosht numerik, numrat e plotë pozitivë shfaqen në në të djathtë të zeros, zero zë pika qendrore dhe numrat e plotë negativë vendosen në majtasKy rregullim lejon krahasimin e lehtë të madhësisë së tyre: sa më djathtas, aq më i madh numri.
- Ata quhen numrat natyrorë për të cilën ne përdorim elementët e numërimit ose tregojnë rendin (1, 2, 3, …). Ato janë numra të plotë pozitivë dhe zakonisht shënohen me shkronjën N.
- El zero përfaqëson një vlerë nulNjë zero nuk shton vlerë kur qëndron vetëm, por pozicioni i saj në një numër e ndryshon plotësisht vlerën e tij. Një zero në të djathtë të një shifre shumëzon vlerën e saj me dhjetë (2 bëhet 20), ndërsa në të majtë nuk e ndryshon numrin (02 është i barabartë me 2).
- L numrat e plotë negativë Ato përfaqësojnë situata të kundërta me ato natyrore, si p.sh. deudas, temperaturat nën zero o nivele nën një referencëPër t'i emërtuar ato, fjala "minus" vendoset para numrit: "minus katër" shkruhet −4.
Numrat e plotë janë të mbyllur nën mbledhje, zbritje dhe shumëzimOperacioni midis dy numrave të plotë gjithmonë rezulton në një numër tjetër të plotë. Megjithatë, pjesëtimi i dy numrave të plotë mund të rezultojë në një numër që nuk është një numër i plotë (për shembull, 3/4), kështu që ato nuk janë të mbyllura nën pjesëtim.
b) Thyesore
Numrat racionalë përfshijnë gjithashtu numra thyesorë, e cila filloi për zgjidh problemet e shpërndarjes kur pjesëtimi i numrave natyrorë nuk dha një rezultat të plotë.
Një numër thyesor është një shprehje që tregon pjesëtimi i një sasie me një tjetërAi përbëhet nga një numërues (shuma që ndahet) dhe një emërues (në sa pjesë është i ndarë), të ndara nga një vijë horizontale ose diagonale.
Edhe pse çdo numër i plotë mund të shihet si një thyesë me emërues 1, në këtë seksion bëhet një dallim i veçantë midis thyesat e rregullta dhe të parregullta:
- L thyesat e duhura Këto janë ato në të cilat numëruesi është më pak sesa emëruesi. Ato përfaqësojnë sasi më i vogël se një, për shembull 3/5.
- L thyesat e papërshtatshme kanë një numërues më i madh ose i barabartë me sesa emëruesi, që tregon një sasi më i madh ose i barabartë me një, siç janë 7/4 ose 5/5.
Për më tepër, shumë numra racionalë mund të shkruhen edhe si numra dhjetorë të saktë ose përsëritësKështu, një numër si 0,25 është ekuivalent me 1/4 (decimal i saktë), ndërsa 0,333… është ekuivalent me 1/3 (decimal i pastër periodik).
2. Numrat irracionalë
L numrat irracionalë Ata janë të tillë Ato nuk mund të shprehen si një thyesë e dy numrave të plotëPërfaqësimi i tij decimal është gjithmonë infinit dhe jo-periodik: numrat dhjetorë vazhdojnë pa përsëritur në një model të fiksuar.
Shembuj klasikë janë numri π (marrëdhënia midis gjatësisë së një perimetri dhe diametrit të tij), e numrit (baza e logaritmeve natyrore), raporti i artë φ ose rrënjët e numrave të thjeshtë që nuk janë katrorë të përsosur, si p.sh. √2, √3, √5, √7, etj.
Historikisht, numrat irracionalë lindën kur një dishepull i Pitagorës u përpoq ta shprehte diagonalen e një katrori me gjatësi brinje 1 si thyesë, duke zbuluar se Nuk kishte dy numra të plotë p dhe q të tillë që p/q = √2Pavarësisht rezistencës fillestare të shkollës së Pitagorës, ky zbulim tregoi se bashkësia e numrave racionalë nuk ishte e mjaftueshme për të përshkruar të gjitha madhësitë gjeometrike.
Qeniet irracionale mund të shihen si plotësimi i numrave racionalë brenda numrave realëDomethënë, nëse e quajmë Q bashkësinë e numrave racionalë dhe ℝ bashkësinë e numrave realë, bashkësia e numrave irracionalë mund të përshkruhet si ℝ − Q: të gjithë numrat realë që nuk janë racionalë.
Për më tepër, dallohen dy lloje të rëndësishme të numrave irracionalë: algjebrike y transhendent.
- L numra algjebrikë janë ato që janë një zgjidhje për disa ekuacione algjebrike me koeficientë të plotë. Për shembull, √2 është iracional dhe algjebrik, sepse është një zgjidhje e x² − 2 = 0.
- L numra transcendentalë Ato nuk mund të merren si zgjidhje për asnjë ekuacion algjebrik me koeficientë të plotë. Ato nuk shprehen me një numër të kufizuar rrënjësh dhe dhjetoret e saj nuk ndjekin ndonjë model të dallueshëmKëto përfshijnë π dhe e.
Vetitë themelore të numrave realë
Bashkësia e numrave realë na lejon të kryejmë veprime të mbledhje dhe shumëzim përmbushja e një sërë vetish që lehtësojnë llogaritjen dhe arsyetimin matematik. Ndër më të rëndësishmet janë lock, komutativitet, asociativiteti, ekzistenca e elementëve neutralë dhe ekzistenca e inverseve.
Bllokohet
Prona e lock tregon se shuma ose prodhimi i dy numrave realë është gjithmonë një tjetër numër realNëse a dhe b i përkasin ℝ, atëherë a + bya·b gjithashtu i përkasin ℝ. Kjo na lejon të veprojmë pa dalë nga bashkësia, diçka thelbësore për zhvillimin e algjebrës dhe analizës.
Vetia komutative
La pasuria komutative Ai thotë se rezultati i mbledhjes ose shumëzimit të dy numrave realë Nuk varet nga porosia ku kryhet operacioni. Domethënë, a + b = b + aya·b = b·a për të gjithë numrat realë a dhe b. Kjo veti i thjeshton shumë llogaritjet dhe shkrimin e shprehjeve.
Pronësia e asociuar
La pronë shoqëruese tregon se, kur mblidhen ose shumëzohen tre ose më shumë numra realëMënyra se si grupohen ato nuk ndikon në rezultat. Në simbole: (a + b) + c = a + (b + c) dhe (ab·ab)·c = a·(b·c). Falë kësaj, operacionet e gjata mund të riorganizohen për t'i bërë ato më të lehta për t'u zgjidhur.
Element neutral
Në numrat realë ka dy elementë neutralë themelore:
- El zero është shtesë neutralesepse mbledhja e tij me çdo numër real nuk e ndryshon vlerën e tij: a + 0 = a.
- El uno është identitet shumëzues, meqenëse shumëzimi i tij me çdo numër real jep të njëjtin numër: a·1 = a.
Inversi aditiv dhe shumëzues
Për çdo numër real ekziston një inversi i aditivit dhe, përveç zeros, një inversi shumëzues:
- El inversi i aditivit Identiteti aditiv i një numri a është −a, sepse kur ato mblidhen së bashku, merret identiteti aditiv: a + (−a) = 0.
- El inversi shumëzues o reciprok e një numri a ≠ 0 është 1/a, meqenëse a·(1/a) = 1.
Numrat realë në boshtin numerik dhe në jetën e përditshme
Çdo numër real mund të përfaqësohet nga një pikë në boshtin numerikÇdo pikë në atë vijë korrespondon me një numër real unik. Kjo korrespondencë një-me-një na lejon të vizualizojmë operacione të tilla si mbledhja (zhvendosjet djathtas ose majtas), zbritja, pabarazitë dhe distancat.
Në boshtin e numrave realë, rendi i numrave përcaktohet nga pozicioni i saj: sa më djathtas të jetë një pikë, Sa më i madh numri i lidhur; sa më majtas, aq më i vogël do të jetëNuk ka numër real pozitiv ose negativ "të fundit", meqenëse bashkësia ℝ përmban elementë të pafund në të dy drejtimet.
Në jetën e përditshme, numrat realë përdoren vazhdimisht: për shembull mat gjatësitë (metra, centimetra), temperaturat e shprehura (gradë pozitive dhe negative), llogarit kohën, menaxhoj paratë (bilancat, borxhet, interesat), krahaso oraret o analizojnë të dhënat në statistikë dhe ekonomi.
Në fushën shkencore dhe teknologjike, numrat realë janë baza e llogaritje diferenciale dhe integrale, fizikë klasike dhe moderne, Ingeniería, kompjutera dhe shumë disiplina të tjera. Sasi të tilla si shpejtësia, nxitimi, energjia ose intensiteti shprehen me numra realë, dhe trajtimi i saktë i tyre lejon modelimin e fenomeneve komplekse.
Të kuptuarit e klasifikimit të numrave realë, nëngrupeve të tyre dhe vetive jo vetëm që lehtëson studimin e matematikës, por edhe Ai forcon arsyetimin logjik dhe abstrakt.Ndihmon në strukturimin e të menduarit dhe përmirëson aftësinë për të zgjidhur probleme në kontekste shumë të ndryshme.